Processing math: 100%

一般の相加・相乗平均の不等式

(Date: 2023.9.1)

an=(1+1n)n が収束することを示せ, という問題を出すと, anが単調増加であることを一般の相加・相乗平均の不等式 x1,x2,,xn>0 ならば,x1+x2++xnn(x1x2xn)1n を使って証明してくる学生が多いのだけれども, いまだにその証明をきちんと書いてくる学生を見たことがない.
そんなに簡単な式かなぁ? と思うので, 自分の備忘録も兼ねて, ここで証明してみることにします.
例によって例のごとく, ここは茶呑み話的な場所なので, この証明を鵜呑みにしてレポートに書いてバツをもらっても私の責任にしないでください. (予防線)


では, 証明に使うもの.
Youngの不等式: 任意のa>0, b>0について, p,q>1  1p+1q=1 をみたすならば, app+bqqab. 証明はH. Brezis, Functional analysis, Springerなどを見てください.

相加・相乗平均の不等式(1)の証明. 帰納法による.
n=1のとき, 左辺=右辺=x1より成立.
自然数nについて, (1)が成り立つとすると, x1+x2++xn+xn+1n+1=nn+1x1+x2++xnn+1n+1xn+1nn+1(x1x2xn)1n+1n+1xn+1((1))=nn+1((x1x2xn)1n+1)n+1n+1n+1(x1n+1n+1)n+1(x1x2xn)1n+1x1n+1n+1(Youngの不等式)=(x1x2xn+1)1n+1. よって任意の自然数で(1)は成り立つ.

ちなみにもとの問題であった an=(1+1n)n が単調増加であることについてはYoungの不等式から証明できるので, その目的から見れば一般の相加相乗平均は不要.
また, 相加・相乗平均の不等式を示すのとYoungの不等式を示すのではどちらが初等的か? ...どっちなんでしょうねぇ.


そういえば本稿を書くにあたり, 相加・相乗平均って英語でどう言うのだろう? と思い調べてみたら,
arithmetic-geometric mean
だそうですね. 一つ勉強になりました.


戻る