an=(1+1n)n
が収束することを示せ,
という問題を出すと, anが単調増加であることを一般の相加・相乗平均の不等式
x1,x2,…,xn>0 ならば,x1+x2+⋯+xnn≥(x1x2⋯xn)1n
を使って証明してくる学生が多いのだけれども,
いまだにその証明をきちんと書いてくる学生を見たことがない.
そんなに簡単な式かなぁ? と思うので, 自分の備忘録も兼ねて, ここで証明してみることにします.
例によって例のごとく, ここは茶呑み話的な場所なので,
この証明を鵜呑みにしてレポートに書いてバツをもらっても私の責任にしないでください.
(予防線)
では, 証明に使うもの.
Youngの不等式:
任意のa>0, b>0について,
p,q>1 が 1p+1q=1 をみたすならば, app+bqq≥ab.
証明はH. Brezis, Functional analysis, Springerなどを見てください.
相加・相乗平均の不等式(1)の証明.
帰納法による.
n=1のとき, 左辺=右辺=x1より成立.
自然数nについて, (1)が成り立つとすると,
x1+x2+⋯+xn+xn+1n+1=nn+1⋅x1+x2+⋯+xnn+1n+1xn+1≥nn+1⋅(x1x2⋯xn)1n+1n+1xn+1(∵(1))=nn+1⋅((x1x2⋯xn)1n+1)n+1n+1n+1(x1n+1n+1)n+1≥(x1x2⋯xn)1n+1⋅x1n+1n+1(∵Youngの不等式)=(x1x2⋯xn+1)1n+1.
よって任意の自然数で(1)は成り立つ.
ちなみにもとの問題であった
an=(1+1n)n
が単調増加であることについてはYoungの不等式から証明できるので,
その目的から見れば一般の相加相乗平均は不要.
また, 相加・相乗平均の不等式を示すのとYoungの不等式を示すのではどちらが初等的か?
...どっちなんでしょうねぇ.
そういえば本稿を書くにあたり,
相加・相乗平均って英語でどう言うのだろう?
と思い調べてみたら,
arithmetic-geometric mean
だそうですね.
一つ勉強になりました.