大塚研究室(非線形数理解析研究室)について

本研究室およびゼミについて

本研究室では, 自然現象・社会現象など様々な現象を 主に微分方程式の視点から考察し解析する
数学の研究を行っています.

大塚の主な研究テーマは 幾何学的発展方程式による界面の時間発展現象の数理解析
(結晶成長, 自然界における様々な模様の形成など, モノの形の変化を追う数理モデルの研究)
ですが, およそ興味が湧く($+$何かできるんじゃないかという手応えがある) ことなら何でも取り扱います.

本研究室では数学の研究がメインになりますが, 目に見えて形が変化するものを解析するため,
自分の書ける範囲で数値解析やそのプログラミングなども行います.

大塚の研究内容の主な応用分野として

• 物理・生物・社会現象などの理論研究
• 画像処理問題(ノイズ除去, 輪郭抽出, 画像補完など)
• 最適制御問題(状態を理想状態に近づけつつ, コストも抑える制御)
• 数値解析(数理モデルを計算機で計算する理論とその実践.)

物理・生物・社会の諸問題と 同等かそれ以上に,
その数学的構造や, その諸問題を考察するための数学理論に興味がある人
向きの研究室かと思います.

キーワード

(非線形)偏微分方程式, 等高線法・等高面法(level set法), フェーズフィールド法, 変分問題

ゼミ実施方法

教科書を選定してそれを輪読するとともに, できるものは数値計算実験などで内容を確認します.

教科書は微分方程式, 数値解析とその応用分野等から ゼミに参加する学生と相談の上決定しますが,
おおよそ以下のジャンルとサンプルを想定しています.

• 微分方程式: 現象を数理モデル化する・数理モデルからその定性的性質を導くなど.
  • デヴィッド・バージェス/モラグ・ボリー (垣田髙夫/大町比佐栄訳), 微分方程式で数理モデルを作ろう, 日本評論社.
• 数値解析: コンピューターによる微分方程式や連立一次方程式の解法, シミュレーションの方法論など.
  • 櫻井鉄也, MATLAB/Scilabで理解する数値計算, 東京大学出版会.
    ( ScilabかOctaveで実験します. 難しいようなら, その内容を参考に
    C言語やPythonなど, 学んだプログラム言語で実習をします. )
• 最適制御・最適化問題
  • 金谷健一, これなら分かる最適化数学-基礎原理から 計算手法まで, 共立出版.
• 機械学習
  • Nello Cristianini, John Shawe-Taylor (大北剛訳), サポートベクターマシン入門, 共立出版.

諸注意事項

ここでは少し厳し目のことを注意しておきます.

まず本ゼミへの配属について, 学生が所属先するプログラム先によって配属を拒むものではありませんが,
上記の通り本ゼミでは数学を学びます.
ゆえに学生は微分積分学1・2, 線形代数学1・2を履修済みであることを想定していて,
それゆえにデータサイエンスプログラム・計算機科学プログラムの学生の受け入れを表明しています.

要するに, 履修済み科目のミスマッチについては, こちらからのフォローでは限界がありますので,
本ゼミを希望する学生は必要な数学について 自力で勉強することを心がけてください.
一応フォローになってないフォローをしておくと,

• 使用する微分積分の知識については, 講義で触れきれなかった部分をたくさん使用します.
  何より, 具体的な関数の微積分はほとんどなく, 文字 $u(x,y)$ で表される未知関数の微積分ばっかりやります.
• 微分方程式や最適化数学(変分法)など, 一見解析の知識を多用する分野に見えますが,
  思ったより線形代数学を多用します.
  というより, 線形代数学を使って話を整理しないと 何が起きているかよくわかりません.
• 上記の線形代数学と微分積分学が交わるところ, 数学をコンピューターで可視化するところなど,
  皆さんにとっては初めてのことが目白押しです.